从频率角度讲，C与高一个八度的C相差2倍。一个八度被分成12项的等比数列，公比为2^(1/12)，即2的12分之一次方。
以下是各音的国际标准频率值
1 2 3 4 5 6 7 | C - do - 261.6 Hz D - re - 293.6 Hz E - mi - 329.6 Hz F - fa - 349.2 Hz G - so - 392 Hz A - la - 440 Hz B - si - 493.8 Hz |
在钢琴键盘上可以看到，C与F相差5个半音，C与G相差7个半音，我们来验算一下
1 2 3 4 5 6 7 | >>> import numpy as np >>> 261.6 * np.power(2, 5/12) 349.19410585088104 # F - 349.2 Hz >>> 261.6 * np.power(2, 7/12) 391.95713131093993 # G - 392 Hz >>> 261.6 * np.power(2, 9/12) 439.95700446074346 # A - 440 Hz |
乐理中说
1 2 3 | 八度（12个半音）极完全协和 纯四度（5个半音）、纯五度（7个半音）完全协和 三全音（6个半音）不协和 |
为什么纯四度、纯五度协和呢？
两个音之所以协和，是因为彼此之间是简单的倍数关系，如八度是2倍的关系。
纯四度是2^(5/12)倍关系，纯五度是2^(7/12)倍关系，不是简单倍数啊！
其实，2^(5/12)约等于1+1/3即4/3，2^(7/12)约等于1+1/2即3/2。
我们在python中验算一下
1 2 3 4 5 6 7 8 | >>> np.power(2, 5/12) 1.3348398541700344 >>> 1+1/3 1.3333333333333333 >>> np.power(2, 7/12) 1.4983070768766815 >>> 1+1/2 1.5 |
另外，
1+1/5即6/5靠近2^(3/12)，所以相隔小三度（3个半音）比如C键与Eb键同时发声时不难听；
1+1/4即5/4靠近2^(4/12)，所以相隔大三度（4个半音）比如C键与E键同时按下不难听；
1+2/3即5/3靠近2^(9/12)，所以相隔大六度（9个半音）比如C键与A键同时发声时不难听。
这是三和弦、七和弦存在的理论前提。
而三全音是2^(6/12)倍即根号2倍的关系，是无理数，所以不协和，如C键与F#键同时按下，或者F键和B键同时按下就难听。
我们举一个生活中的例子，弦长与频率成反比，我们拉直一根弦，这时我们把此弦看成数轴，原点在固定弦一端的地方，随便手捏住弦的另一处，弹此弦定为C音，手捏的点则为数轴上刻度为1的位置；再手捏的刻度为3/4处则发出F（fa）音；手捏的刻度为2/3处发出G（so）音；手捏的刻度为2处发出低一个八度的C音；而手捏刻度为1/2处发出的是高一个八度的C音。
refer to:
https://pages.mtu.edu/~suits/scales.html